圆心到直线的距离公式， 高中数学：怎样处理直线与圆的位置关系

处理直线与圆的位置关系，通常转化为线心距d与圆半径r的大小关系来解决，其中圆心C（a，b）到直线

的距离公式为

一. 线圆相切

直线与圆相切的充要条件是：

例1. 直线

绕原点按逆时针方向旋转后所得直线与圆

的位置关系是

A. 直线过圆心

B. 直线与圆相交，但不过圆心

C. 直线与圆相切

D. 直线与圆没有公共点

解：已知圆的圆心为C（2，0），半径

。由直线得斜率

，即倾斜角为。再绕原点按逆时针方向旋转得倾斜角为

，从而斜率

，所以原直线化为

。由圆心C到直线

的距离

，知直线与圆相切，故选C。 例2. 若直线

与圆

相切，则a的值为

A. 1，－1

B. 2，－2

C. 1

D. －1

解：已知圆化为

，知圆心C（1，0），半径。因为直线与圆相切，所以，即

，解得

，故选D。

二. 线圆相离

直线与圆相离的充要条件是：

；已知直线上一点P到圆心C的距离的最小值为线心距d，即有等量关系：

。例3. 圆

与直线

（

，

）的位置关系是

A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 不确定的

解：圆方程化为标准方程得

，知圆心C（0，0），半径

因为圆心到直线的距离

所以直线与圆相离，故选C

例4. 已知P是直线

上的动点，PA、PB是圆

的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为________________。解：已知圆化为

，知圆心C（1，1），半径。因为

，求

的最小值就是求

的最小值，而

所以

三. 线圆相交

直线与圆相交的充要条件是：

；若直线与圆相交，则线心距d、弦长的一半

与圆半径r构成直角三角形，即有等量关系：

。例5. 若直线

与圆

有两个不同的交点，则a的取值范围是A. （0，

） B. （

，0）C. （

） D. （

）解：已知圆心C（，2），半径。因为直线与圆相交，所以，即

，平方去分母得

，解得

，故选B。 例6. 已知圆C：

及直线

：

。当直线l被C截得的弦长为

时，则a＝A.

B.

C.

D.

解：已知圆心C（a，2），半径

线心距为

因为线心距、弦长的一半与圆半径构成直角三角形，所以

解得

因为

，所以

，故选C

例7. 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1。在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线

的距离最小的圆的方程。解：设圆心C（a，b），半径r，则C到x轴、y轴的距离分别为

。由题设知圆C截x轴所得劣弧所对的圆心角是直角，所以有

；又圆C截y轴所得弦长为2，则有

，从而有

，由

得

当且仅当

时，d有最小值。解得

或

。故所求圆的方程为

或